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Numa Tortolero's Logic Page

 

Ensayos sobre lógica

Frege y la fundamentación de la lógica matemática
Numa Tortolero

Contenido:

 

 

Frege Logicista

La actividad intelectual de Gottlob Frege (1.848 - 1.925) siempre estuvo orientada hacia temas de la lógica y de la matem&oaacute;tica.

En un artículo de 1.914, La lógica en la matemática, Frege afirma que la labor del matemántico está dominada por la deducción y la definición, dos actividades que dependen de leyes lógicas; debido a esto, la matemática se haya ligada más estrechamante a la lógica que a cualquier otra ciencia. De ahí que Frege considerase a las matemáticas como una extensión de la lógica. De hecho, su programa de fundamentación de las matemáticas puras consistía en demostrar que éstas tratan exclusivamente con conceptos reducibles a un pequeño número de nociones lógicas.

Para Frege, la lógica era la teoría más básica o fundamental, irreductible a otra, siendo sus principios verdades irrefutables e indudables; no habría saber anterior a la lógica, ninguno de sus principios reposa o es deducible de principios de otras ciencias, al contrario, es sobre la base que que proporciona la lógica de donde toda teoría se constituye.

Esta suposición de Frege no era ni ha sido totalmente compartida, pues contrasta, por ejemplo, con la posición de autores como Edmund Husserl, quien elevaba justamente su crítica a la filosofía de Kant sobre el hecho de que este autor daba la lógica por sentado, sin someterla a una crítica. Al considerar cuestionables los principios de la lógica, Husserl se distanciaría del punto de vista de Frege, quien trata la lógica como el trasfondo último del pensar.

Lo posición asumida por Frege, que considera a la lógica como un conjunto de principios incuestionables a los que es posible reducir en última instancia todos los enunciados verdaderos de las matemáticas se conoce como logicismo. Curiosamente, esta tendencia de la filosofía de las matemáticas fue el centro de las críticas de otra manera de concebir las relaciones entre matemáticas y lógica, conocida como intuicionismo. Digo curiosamente, porque el intuicionismo, una corriente iniciada por los escritos del matemático holandés Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881 - 1966), funda sus ideas e la filosofía de Kant, la cual, como hemos señalado, coincide con la consideración de Frege en cuanto a que los principios de la lógica no son susceptibles de crítica.

La escuela intuicionista considera, basados en las ideas de Kant, que las matemáticas tienen como y punto de partida la intuición pura del tiempo, sin la cual sería imposible individuar los objetos matemáticos. Pero los intuicionistas se distancian de Kant en que, para ellos, los principios de la lógica no deben ser aceptados como incuestionables. El intuicionismo considera que las matemáticas son producto de la actividad constructiva de los matemáticos y que la lógica, al contrario de lo que piensa Frege, es una extensión de las matemáticas. Es decir, la lógica habría surgido después de las matemáticas como un estudio a posteriori de las relaciones existentes en las deducciones de teoremas o verdades a partir de otros enunciados de las matemáticas.

Habría un abismo entre el logicismo de Frege y el intuicionismo de Brouwer. Para Frege, las proposiciones de la matemática poseen una legitimidad totalmente independiente de los hechos empíricos y de las representaciones subjetivas de cada individuo. Esto es inaceptable para un intuicionista, pues éste considera que las entidades matemáticas sólo tienen existencia por la actividad mental del matemático que las construye.

Frege sostendr&aaacute; a lo largo de sus escritos que las proposiciones de la aritmética son analíticas, es decir, sin depender para nada de la experiencia, presuponen las leyes generales de la lógica: una proposición es analítica si puede demostrarse que se sigue sólo de leyes generales de la lógica más algunas definiciones formuladas de acuerdo con ellas. Una proposición sería analítica no por su forma sino por el lugar que ella ocupa en determinada teoría o por la manera en que dicha proposición es demostrada.

El proyecto de fundamentación de las matemáticas de Frege consistía en demostrar la analiticidad de las proposiciones de la aritmética según los criterios que hemos mencionado: mostrando cómo sus enunciados eran deducibles de principios lógicos. Es el proyecto logicista de la filosofía de la matemática. El interés por realizar esta tarea llevó a Frege a la necesidad de realizar modificaciones interesantes en el aparato de la lógica clásica.

Frege terminó realizando una formalización de la teoría de la inferencia más rigurosa y general que la propuesta por la silogística tradicional. El proyecto consiste en demostrar cómo los teoremas de la aritmética resultan, por medio de pasos de inferencia, de proposiciones lógicas iniciales enumeradas; por lo tanto, hay que evitar cualquier proposición que no sea una de estas proposiciones iniciales ni una consecuencia de ellas. Esta exigencia produjo la necesidad de adoptar y extender la representación simbólica del razonamiento empleada por los matemáticos.

 

Simbolización de la lógica

La cautela del proceso de fundamentación de las matemáticas exige simbolizar no sólo las nociones de sus ramas tradicionales, sino también las utilizadas en todo razonamiento deductivo, sin dejar de formular todas las reglas de inferencia posibles.

Frege llegó a inventar un sistema simbólico o de "escritura conceptual" para formalizar el lenguaje ordinario sobre el modelo del lenguaje de la aritmética. Frege llamó conceptografía (Begriffsschrift) a este sistema y lo presentó por primera vez en artílo del mismo nombre, publicado en 1879.

Algunos de los principales problemas que ofrecía el análisis clásico provenían del uso constante de lenguajes naturales. Por ejemplo, la ambigüedad del uso del verbo 'ser'. Este verbo, según Frege, es multívoco, pues puede indicar por lo menos tres tipos de relaciones:

Eso de alguna manera explicaría, por ejemplo, porque Frege introduce el uso, dentro de la lógica, del signo de igualdad, el cual es de origen matemático, para significar 'es idéntico a'. Por ejemplo, podemos escribir "Pepe es el muchacho que vive al lado" de la siguiente manera:

Lo cual no podríamos hacer con la frase "Pepe es valiente", pues sería falso decir:

Para Frege, la igualdad matemática es una forma de identidad, pues enuncia una relación entre dos objetos, no entre los signos que los designan. La igualdad señala identidad de significado, no identidad de signos. Podría decirse que el criterio de igualdad de significado entre dos expresiones es extensional: la identidad designa equivalencia en los objetos a los que se extienden los conceptos denotados por los signos del enunciado.

El uso de la igualdad matemática ( = ) como nexo entre las partes relacionadas en un enunciado, permite considerar un enunciado sobre identidad entre objetos como una ecuación. Por ejemplo, podemos generalizar la expresión "Pepe = el muchacho que vive al lado" escribiendo:

que nos da una ecuación que es satisfecha, en este caso, reemplazando x por la expresión "el muchacho que vive al lado".

El trabajo de simbolización que Frege emprendió sobre la lógica, como podemos ver, toma de la matemática sus conceptos y símbolos fundamentales. Reemplaza categorías gramaticales en el seno del lenguaje por conceptos esenciales de la matemática, obteniendo una representación más precisa del significado de los enunciados.

 

 

Lógica y Matemática - Concepto y Función

Uno de los cambios introducidos por Frege dentro de la silogísitica tradicional es el rechazo de la distinción gramatical entre sujeto y predicado, por considerarla irrelevante para la teoría de la inferencia. Tal distinción será sustituida por la distinción entre función y argumento, también tomada de la matemática.

En el artículo "Función y Concepto" (1891), Frege define los conceptos como funciones: una definición o proposición puede ser simbolizada con una expresión de la forma F(x). Esta expresión reúne en una clase o conjunto a todos los objetos que posean la propiedad F. Aquí la función F reemplaza el predicado y el argumento x al sujeto. Decimos que todo sujeto x al que pueda atribuirse el predicado F , sin que esto afecte el valor veritativo de la atribución, pertenece a la clase de los objetos que poseen la propiedad F.

La extensión de un concepto F(x) estaría constituida por todos los objetos que satisfarían el valor veritativo de la expresión. La extensión sería el curso de valores que constituyen el rango de la función para cada argumento x.

Encontramos que lo que hace una función es especificar una condición que permite determinar el valor de verdad de una proposición del tipo F(x) para cada una de las interpretaciones de su argumento x. Veámoslo con un ejemplo. Cosideremos la frase "Cervantes escribió El Quijote". Así presentada, no podemos ver en ella una función, pues no hay nada en ella sobre lo que podamos establecer un rango de valor: no hay variables en ella. Frege considera que una expresión de este tipo no es una función sino un nombre que refiere al autor de El Quijote. Pero podemos convertir esa frase en una función escribiendo "Cervantes escribió x"; tendríamos entonces una función cuyo valor puede ser verdad o falsedad de acuerdo a la palabra o a la frase que usemos en vez de la variable x. El valor de la función será verdad para aquellas sustituciones como El Quijote, que refieren a obras que escribió Cervantes; el valor será falso en otros casos.

Una función, como Frege la entiende, es una estipulación que tiene como utilidad permitir identificar los objetos que pertenecen a una clase. Frege asume que, para identificar una clase, sólo basta dar una característica, pues con ello se define un concepto. Toda función (proposicional) que contiene como argumento una variable libre, define una clase que tiene por elementos a los objetos que satisfacen esta función y sólo a ellos. Por ejemplo, la función "Cervantes escribió x" define la clase de las obras que escribió Cervantes. Para Frege, la existencia de esta clase es independiente de la actividad mental del sujeto, en el sentido de que éste no la construye, como piensan los intuicionistas, sino que la descubre: la situación de que esa frase sea verdadera o falsa es independiente de las circunstancias particulares del sujeto que la piensa o la pronuncia. De hecho, si una frase como "Sócrates escribió x" es falsa para todas las sustituciones de x, es decir, Sócrates no escribió ningún libro, aún esa frase constituye una clase que, en estas circunstancias, es vacía.

Por otra parte, para Frege, la evidencia que hace verdadera una función puede ser independiente de los objetos empíricos, cuando su posibilidad de ser verdad o falsedad no depende de la existencia empírica de los objetos que denota, a no ser, como es de suponerse, que se trate de un enunciado que afirme la existencia de un objeto, en cuyo caso habría que verificar la existencia de ese objeto. Por ejemplo, "Cervantes escribió x" es verdad, al reemplazar x por expresiones como El Quijote, independientemente que Cervantes exista o no. Por supuesto, en este caso, donde tenemos una frase que refiere a una circunstancia histórica, empírica, la verdad de la expresión requiere de que haya existido Cervantes y la obra El Quijote, pero no de su existencia actual.

El punto es que Frege otorga objetividad al pensamiento que se expresa en los enunciados. Como ejemplo, Frege, en La Lógica en la matemática, menciona el hecho de que una frase en un idioma mantiene su significado cuando es traducida a otro idioma: la verdad del enunciado no depende de las circunstancias particulares del hablante. Por este motivo, dado que tienen objetividad, las clases como tales, las cuales quedan establecidas con la definición de una función, pueden ser consideradas como objetos ellas mismas, susceptibles de ser argumentos de funciones y, por lo tanto, pueden agruparse dentro de otras clases. Por ejemplo, podemos afirmar "Pepe cree que Cervantes escribió x", pudiendo extraer aquí la función (o concepto, pues para Frege, un concepto es una función cuyo valor es un valor de verdad) de segundo orden "Pepe cree que x", que define la clase de aquellas cosas en las que cree Pepe, que pueden ser otras otras funciones, como la circunstancia de que Cervantes escribió algo. Otro ejemplo citado por Frege en Función y Concepto son las funciones de segundo grado del análisis matemático, como en los integrales determinados en las que puede observarse la función que los integra como argumento. Entonces, se pueden agrupar conceptos en grupos o clases de conceptos y desarrollar una jerarquía de ellos.

Frege establece para los conceptos la exigencia de que cada argumento tenga como valor de verdad uno que sea determinado para cada objeto. Los conceptos deben ser rigurosamente delimitados porque de lo contrario sería imposible establecer sus leyes lógicas.

Toda función debe tener un valor para cada argumento. Una función tiene significado porque establece las condiciones en que cualquiera de sus interpretaciones es verdadera. Esto se puede hacer, según Frege, mediante una estipulación que tenga este propósito. Hoy día, conocemos tales estipulaciones como constantes u operadores lógicos a los cuales damos el nombre de cuantificadores. Estas constantes lógicas garantizan que una expresión con variables pueda aparecer como el enunciado de una proposición determinada.

Son dos los cuantificadores: el cuantificador universal (Todo x) y el cuantificador existencial (Existe un x).

 

 

Definición Lógica de Número

Como hemos comentado, el proyecto de fundamentación de las matemáticas de Frege tiene como objeto la reducción o definición de los objetos matemáticos a través de objetos lógicos. En el caso de la aritmética, el objeto fundamental es el número, por eso su definición lógica es la tarea a la que Frege se dedica en sus i>Fundamentos de la Aritmética (1884).

El esquema "sujeto-verbo-predicado" resulta problemático, por ejemplo, para definir el concepto de número.

Frege consideraba que el número es un objeto porque tiene facticidad u objetividad. Ésta se explica por la independencia de la verdad de los enunciados de la matemática respecto de los hechos empíricos y de las representacones subjetivas de tipo psicológico. Dicha facticidad es aquello hacia adonde apunta la definición de número; esta definición consistirá en la disposición de los medios que nos permitirán identificar al número como tal. Recordemos que, para Frege, los conceptos tienen existencia independiente del sujeto, por ese motivo se trata de ofrecer los medios que permitan identificarlos.

El objetivo será entonces dar los criterios que nos permitan decir cuando una definición matemática es verdadera según derive o no de principios lógicos. En el caso del número, debemos dar un concepto en términos estrictamente lógicos, especificando cómo cada uno de los términos del enunciado que lo expresa deriva de leyes lógicas.

En los Fundamentos de la Aritmética, Frege admite que a todo concepto corresponde una extensión que, a pesar de tener estatus de objeto, sin embargo no se da a través de los datos de los sentidos.

El concepto, en general, se caracteriza por su capacidad de reunir una diversidad, por su poder unificador: el concepto reúne (en una clase) a las diversas cosas que poseen las propiedades nombradas por las características que constituyen el concepto como tal. Como la extensión del concepto se define como los objetos para los que un concepto resulta verdadero, podemos entender la extensión no como constituida por los objetos que caen bajo él, sino por el hecho de que sea falso o verdadero de algo.

Frege planteó una definición de número en la que éste era concebido como una clase de clases. El programa logicista tendrá éxito, en este caso, si para cada número se encuentra una clase cuyo número de miembros sea el apropiado y esté garantizado por leyes lógicas exclusivamente. Esta clase deberá agrupar bajo sí clases que tienen como propiedad común la misma cantidad de miembros, es decir, que tengan la misma extensión numérica.

La propiedad de tener la misma cantidad de miembros, la equinumericidad, debe ser definida sin hacer referencia a hechos empíricos; debe hacerse su definición solamente mediante procedimientos estrictamente lógicos.

Hemos dicho que para Frege la igualdad aritmética es una noción lógica porque define una relación entre clases. Una clase tendrá la misma extensión numérica que otra sólo si podemos establecer entre ellas una relación biunívoca, es decir, si podemos asociar a cada elemento de una clase uno y sólo un elemento de otra sin que quede sin asociar algún elemento de alguna de las clase.

La relación biunívoca se da si se establece una función f que aplica biunívocamente una clase A sobre otra clase B, es decir, si la función f establece una relación uno a uno entre los elementos de A y B. En una función biunívoca se asocian los elementos de dos conjuntos de manera que cada objeto de A está relacionado con uno y sólo un elemento de B.

El número para Frege queda definido como la clase que agrupa conjuntos equinuméricos.

Hemos dicho que para Frege los conceptos son funciones. Podemos describir las funciones de segundo grado, las que definen clases de clases, como conceptos relacionales. Así, la igualdad de extensión podríamos expresarla mediante un concepto relacional que establezca el tipo de relación entre las dos extensiones que se relacionan. Aquí, ambas extensiones están enlazadas con el concepto relacional, así como lo está el objeto individual con respecto al concepto bajo el cual cae. Ambas extensiones relacionadas entre sí, funcionan entonces como una especie de sujeto complejo respecto al concepto relacional.

En el caso específico de la equinumerosidad, la correspondencia de la extensión de los conceptos correlacionados por la relación R, debe ser unívoca en ambos sentidos. La relación uno-uno o función biunívoca es una relación funcional en la cual no sólo a cada valor del argumento y corresponde un solo valor de la función F(x), sino que también, recíprocamente, a todo valor x de la función corresponde un solo valor y del argumento; la relación biunívoca puede ser definida como una relación con la propiedad de que tanto ella como su recíproca son unívocas.

Vemos entonces que para Frege la analiticidad de un enunciado depende de la legitimidad del juicio: la distinción analítico-sintético es una distinción de orden lógico, no gramatical.

Frege criticará a Kant el haber subestimado la importancia de los juicios analíticos. La manera como Frege concibe la verdad de los enunciados depende poco o nada de la experiencia. Se pueden producir enunciados nuevos, inéditos, cuya verdad no depende de la experiencia. Estos enunciados, que Frege llama analísticos, toman su verdad de otros enunciados cuya verdad se considera indiscutible. Podemos corroborar la verdad de esos nuevos enunciados analizando cómo son deducibles por inferencias de otros enunciados cuya verdad aceptamos.

 

 

Analítico - Sintético

Kant define los jucios analíticos como aquellos en los cuales el predicado no agrega ninguna información adicional a lo que el sujeto establece por sí mismo; es decir, aquellos enunciados cuyo predicado designa alguna propiedad del sujeto que podemos determinar a través del análisis lógico del concepto del sujeto. Más importancia tendrán para Kant los juicios sintéticos debido a que estos sí nos aportan información adicional a la que nos puede suministrar el concepto del sujeto; según Kant, sólo los juicios sintéticos están en condiciones de aumentar nuestro conocimiento.

Frege observó que al establecer la distinción analítico-sintético, Kant sólo tenía en mente un caso particular: el del juicio afirmativo universal. Si bien en este caso se puede hablar de un concepto de sujeto y preguntarse si el concepto de predicado está contenido en él, esto resulta imposible cuando el sujeto es un objeto único o cuando se trata de un juicio de existencia, pues en estos casos no se puede hablar de un concepto de sujeto.

Kant pensaba que la analiticidad de un enunciado depende de, o estaba asociada a, el contenido del juicio mismo. Frege discrepa en este punto: la analiticidad de un enunciado depende del tipo de premisas en las cuales se basa el acto de juzgar. Al parecer, Kant pensaba que el concepto venía definido por las características que se le asocian. Frege, en cambio, observará que dicho procedimiento de construcción de conceptos resulta ser uno de los menos fructíferos.

Según Frege, los conceptos más fructíferos no resultan de la asociación de una serie de características sino de la conexión orgánica de las determinaciones. "Las definiciones conceptuales más sutiles son las que marcan líneas fronterizas que aún no habían sido trazadas en absoluto". Según Frege, estas definiciones permiten realizar inferencias a partir de ellas. Son enunciados que no pueden determinarse de antemano y que, por lo tanto, aumentan nuestro conocimiento, pero que no podemos considerar, siguiendo a Kant, como sintéticas, sino como proposiciones analíticas, ya que pueden demostrarse mediante procedimientos estrictamente lógicos: "están contenidas de hecho en las definiciones, pero lo están como la planta en la semilla, no como vigas en la casa", diría Frege.

 

Sentido y Denotación

A propósito de la distinción analítico-sintético, es importante señalar cierto problema surgido a raiz de la introducción del signo '=' para significar en lógica '... es idéntico a ...'. Frege, en Sentido y Denotación (1892), dice que en una proposición de la forma a = b, la igualdad no expresa una relación entre lo que significan los nombres 'a' y 'b', pues no podríamos diferenciar entonces a = b de a = a, en el caso de que a = b fuera el caso. De este modo estaríamos expresando la relación que la cosa tiene consigo misma y no con otra. Por otro lado, si se diferencia el signo 'a' del signo 'b' sólo por la figura pero no como signo, es decir, por la manera como designa algo, entonces el valor de conocimiento, la cantidad de información de a = a sería esencialmente la misma que la de a = b, cuando cuando esta última es el caso.

En resumen, si aceptamos la distinción kantiana entre juicios analíticos y juicios sintéticos, por ejemplo, entre a = a (proposición analítica) y a = b (proposición sintética), ¿cómo es posible mantener aún esta distinción al introducir el signo de identidad?.

A esta cuestión Frege responde proponiendo la distinción entre sentido y denotación de un signo. La relación estraría mediada a través de la conexión de cada uno de los símbolos con lo designado. Ahora bien, una diferenciación entre proposiciones analíticas, a = a, y proposiciones sintéticas, a= b, "sólo puede surgir cuando a la diferencia de signos corresponde una diferencia en la cual se da lo designado", como afirma Frege en Sentido y Denotación.

A la manera como se da lo designado, es decir, de cómo el signo es dado, Frege lo llama el sentido del signo, y constituye la manera cómo accedemos o llegamos al significado o referencia del signo. Lo designado por un signo o por un nombre se distingue de la manera cómo lo designamos: el sentido de un signo se distingue de su significado. Frege ejemplifica: el significado de "estrella de la noche" y "estrella de la mañana" es el mismo, pero no su sentido.

La distinción entre sentido y denotación es tal que una expresión en la cual podamos reconocer un sentido, quizás debido a su correcta formación gramatical, puede sin embargo no tener denotación.

La semántica o teoría del significado de Frege tiene la peculiaridad de tratar a las proposiciones como nombres: las proposiciones significarían su valor de verdad, así como un nombre propio designa un objeto, incluso para Frege los valores de verdad son objetos, tal como lo comenta en su arículo Función y Concepto (1891): "Cada proposición afirmativa en la cual lo que interesa es el significado de las palabras es por tanto también comprensible en cuanto nombre propio y por cierto su significado en caso de que sea efectivo o lo verdadero o lo falso". Esta forma de tratar a las proposiciones fue posteriormente criticada por Berltarnd Russell, en su teoría de las descripciones definidas, y también por Ludwig Wittgenstein, en su Tractatus Logico-Philosophicus.

Ahora, después de esta breve exposición de la semántica de Frege, pasemos a discutir la filosofía de la matemática que Wittgenstein sume en el Tratactus Logico-Philosophicus.

Bibliografía

Brouwer, Luitzen Egbertus Jan:

Frege, Gottlob:

Kant, Inmanuel:

Russell, Berltrand:

Wittgenstein, Ludvig: